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摘要：本文通过几种典型题型的探究来说明怎样用定积分求经济学中的一些函数，如总产量函数、需求函数、成本函数、收益函数和利润函数等。希望读者能够从简单的角度理解定积分在经济函数中的应用。
关键词：定积分;经济函数;应用
在迅速发展的经济现状下，各种不同领域的商业经济分析显得尤为重要，数学在经济学中的地位逐步提高并成为经济分析的一个重要工具。数学和经济学两个学科之间的交集越来越大并出现了融合的走势，使得定积分在经济学中的应用取得了极大的进展，在合理性的经济投资和最优化的经济收益方面具有科学和准确的推论。定积分在不同的经济领域中发挥着重要的作用，例如有效计算函数总量、总量生产函数、投资决策、最大值与最小值、消费者剩余与生产者剩余等。我们将对定积分在经济学应用中如何求经济函数问题进行探讨。
1.定积分在求总产量函数中的应用
已知经济函数的变化率，求总产量函数。
设某产品产量为Q作为时间t的函数Q（t），如果已知产量Q对时间t的变化率为Q′（t）=f（t），则总产量函数关系式为Q（t）=∫Q′（t）dt=∫f（t）dt。
在任一时间间隔[t1，t2]内，总产量Q为
Q（t）=∫t2t1Q′（t）dt=∫t2t1f（t）dt。
如果初始时刻t1的总产量Q（t1）已知，则在时刻t的总产量函数为
Q（t）=Q（t1）+∫tt1Q′（t）dt（t≥t1）。
例1已知某炼钢厂的钢产量的变化率是时间t（年）的函数f（t）=4t-5（t≥0）。
（1）求第一个五年计划期间该厂钢的产量;
（2）按照题设的变化率，求第n个五年计划期间钢的总产量;
（3）按照上述变化率，该厂将在第几个五年计划期间钢的总产量达到800？
解：（1）总产量是它的变化率的原函数，故
Q=∫50（4x-5）dt=（2t2-5t）50=25。
（2）第n个五年计划期间总产量为Q=∫5n5n-5（4t-5）dt=（2t2-5t）5n5n-5=100n-75。
（3） 设第n个五年计划期间总产量达到800，则100n-75=800，解之得n=8.75，即第9个五年计划期间钢的总产量可达到800。
2.定积分在求总需求函数中的应用
已知边际需要或边际收益，求总需求函数。
一般需求函数Q（P）是价格P的单调递减函数。已知边际需求Q′（P）=f（P），求总需求函数Q（P），用不定积分求之：Q（P）=∫Q′（P）dP=∫f（P）dP。
为得到所要求的总需求函数，还需要知道一个求积分常数的条件。例如，题目常给出最大需求量Q0（即P=0时，Q（0）=Q0）作为积分常数的条件。
例2设五金厂生产某零件x个的边际收益函数为R′（x）=ab/（x+b）2-c（元/单位）。
（1） 求生产该零件x个时的总收益函数;
（2） 求该零件相应的需求函数（即平均价格是产量的函数）。
解：（1）因为R′（x）=ab/（x+b）2-c，且R（0）=0，得到R（x）=
∫x0R′（t）dt=∫x0ab（t+b）2-cdt=-abx+b-cx+a。
（2）需求函数为Q（x）=R（x）x=1x（a-cx-abx+b）=
a（x+b）-abx（x+b）-c=ax+b-c。
3.定积分在求成本函数中的应用
已知边际成本，求总成本函数。
如果C′（x）表示产品产量为x时的边际成本（或边际费用），且当产量为零时的成本为C（0），则产量为x时的总成本函数（或总费用）的可变成本为 C（x）=∫x0C′（x）dx。
又当产量为零时的成本为C（0）（即固有成本为C（0）），则产量为x时的总成本函数为C（x）=∫x0C′（x）dx+C（0）。（※）
例3将食品商生产某产品设为x个单位，它的总成本设为C，C（x）是C对x的函数，假设固定成本（即C（0））为20元，边际成本函数为C′（x）=2x+10（元/单位），求该食品商生产某产品总成本函数C（x）。
解一：C（x）是C′（x）=2x+10函数，故C（x）=∫C′（x）dx=∫（2x+10）dx
=x2+10x+k，由固定成本为20元即C（0）=20，得到k=20，故C（x）=x2+10x+20。
解二：已知固定成本为20元，由式（※）得C（x）=∫x0C′（x）dx+20=x2+10x+20。
4.定积分在求总收益函数中的应用
已知边际收益，求总收益函数。
设某商品的总收益函数为R（Q），其边际收益函数为R′（Q），则销售Q个单位时的总收益函数常用定积分
R（Q）=∫Q0R′（Q）dQ计算，其中R（0）=0，即假定销售量为零时，总收益为零。
如用不定积分R（Q）=∫R′（Q）dQ计算，需用初始条件中R（0）=0求积分常数。
5.定积分在求总利润函数中的应用
已知边际收益、边际成本，求总利润函数。
设某产品的边际收益为R′（x），边际成本为C′（x），则总收益R（x）=∫x0R′（x）dx，
总可变成本（不包含固定成本）为F（x）=∫x0C′（x）dx（注意C′（x）与固定成本无关）。
总成本函数为C（x）=F（x）+C0（固定成本）=∫x0C′（x）dx+C0。
边际利润为L′（x）= [R（x）-C（x）]′=R′（x）-C′（x）=R′（x）-F′（x）。
6.由边际函数求总函数的最值
先用积分法求出总函数，然后使用求最值的方法求出总函数的最值。
例4将某厂生产电视的总成本设为C（万元），假定它的变化率（即边际成本）C′（x）=1，总收益为R（万元）的变化率（即边际收益）为生产量x（百台）的函数，即R′=R′（x）=5-x。
（1）求生产量等于多大时，总利润L=R-C为最大？
（2）当生产量达到利润最大时，又生产了100台，那么总利润减少了多少？
解：（1）由C′（x）=1，R′（x）=5-x得到L′（x）=R′（x）-C′（x）=5-x-1=4-x。
令L′（x）=0，得唯一驻点x=4（百台）。因L″（x）=-1<0，故L″（4）<0，所以当x=4时，有极大值。由于驻点唯一，L（x）在x=4时取最大值，即生产量为400台时，利润最大。
（2）L（5）-L（4）=∫54L′（x）dx=∫54（4-x）dx=-0.5（万元），即生产400台后又生产100台总利润减少0.5万元。
对用定积分求经济函数这一问题的探讨，我们认识到解决这类问题要从理论和实际问题出发，利用定积分的相关知识去解决求经济函数问题，如求总产量函数、需求函数、成本函数、收益函数和利润函数等，以及求一些与经济函数相关的数值，如由边际函数求总函数的最值。这充分说明了定积分这个知识内容应用在求经济函数中的可行性和重要性。我们将数学的内容和经济学实际相结合，使实际问题解决最优化、经济效益最大化。
参考文献：
[1]顾晓夏.经济数学[M].北京：北京理工大学出版社，2009.
[2]辛春元.定积分的应用研究[J].现代商贸工业，2008（09）：262—263.
作者简介：莫庆美（1963—），女，广西蒙山人，贺州学院副教授，主要研究方向：高等数学与微分方程教学。