摘 要：数学是思维的学科，是能让人变聪明的学科，然而我们在教学中却忽略了思维这一数学的本质，教师“满堂灌”，学生被动学，教师发试卷，学生埋头做，根本就没有体现思维这一数学的本质。长此以往，学生只会被动地学，不会提问题，不会思考问题，甚至根本就没有问题。俗话说得好，没有问题，就是最大的问题。本文就在平常的教学中如何培养学生的数学思维方面做了一些积极的思考，做了一些大胆的尝试，在这里和大家共同探讨，为我们的学生学好数学尽绵薄之力。
关键词：反思；矛盾冲突；探索；分类讨论；归纳总结
笔者在十几年的教学中发现很多学生解题中存在着会而不全，解而不对，漏洞百出的问题，笔者认为这是学生在解题中不会思考问题的结果。学会思考问题是我们数学教师所乐见的，也是学生能学好数学的前提，那么如何教学生学会思考问题呢？就要在教师平常的教学中去寻找答案。笔者在这方面做了一些积极的思考，做了一些大胆的尝试，下面就平常教学中的几点和大家共同探讨下，为我们的学生学好数学尽绵薄之力。
一、在矛盾冲突中学会思考问题
矛盾冲突是事物发展的根本动力，这是最基本的哲学原理。没有推进器（空气的作用力与反作用力）的矛盾冲突，火箭就无法升空；没有矛盾冲突，一出好戏剧情就无法展开。精心构思与展开的矛盾冲突可产生扣人心弦、动人心魄、感人肺腑、催人泪下的戏剧效果。在课堂教学中精心设计的一场解题矛盾冲突就是一出精彩的好戏。这种矛盾冲突是对人脑的一种良性刺激，而这种刺激可以激活学生的思维，开拓学生的视野，促使学生养成解题中反思的习惯。下面这道题目就是笔者给学生精心设计的一道题目，促进了学生积极思考，引发了激烈的矛盾冲突，最后完美解决，达到了预期的效果。
例：若函数f（x）的定义域关于原点对称，且对于定义域中的任意x的值，都有|f（x）|=|f（-x）|，则函数f（x）（ ）
A.是奇函数
B.是奇函数或是偶函数
C.是偶函数
D.可能是非奇又非偶函数
这是笔者在高三复习“函数奇偶性”的时候练习的一道题目，本来抽象函数问题就有一定的难度，而这里欲根据|f（x）|=|f（-x）|来判断f（x）的奇偶性，更有些难以捉摸。此题的挑战性引起了激烈争论，一时四个选项都有人选。不过选更具迷惑性的B的人最多，而且有人还举出满足条件的许多奇函数或偶函数的例子。李XX同学还提出：凡是奇函数或偶函数f（x），都满足条件|f（x）|=|f（-x）|，所以选B。但以杨X同学为代表的一些学生不同意：选B的朋友们，你们犯了逻辑上的一个根本错误，如果定义域关于原点对称的函数f（x），“对于定义域中的任意x的值都有|f（x）|=|f（-x）|”与“对于定义域中的任意x的值都有
f（x）=f（-x）或对于定义域中的任意x都有f（x）= -f（-x）”是不等价的，后者可推出前者，但前者推不出后者，所以我选D。选B的学生不依不饶：我们举出了那么多例子，而你们却举不出一个例子。杨X：我虽然同意“凡是奇函数或偶函数f（x），都满足条件
|f（x）|=|f（-x）|”这个说法，但反过来由|f（x）|=|f（-x）|并不能肯定f（x）是奇函数或偶函数，你们举一万个例子也是白搭。李XX：那你举出一个例子来证明你的结论啊！杨X与其支持者虽然一时语塞，但为了辩论的取胜，紧张思考，急中生智，通过画图进行尝试、探索，终于举出了令人心服口服的
-2 ，x≤1
图象，它虽然满足|f（x）|=|f（-x）|，但它确实是既非奇函数又非偶函数。这种智慧的爆发力获得了全班师生热烈而经久的掌声。
一道选择题的解答引起的矛盾冲突，取得了“一石激起千层浪”的效果，这种“矛盾冲突”所引发的积极探索、钻研、争辩，不正是我们所大力提倡与努力追求的吗？这里的矛盾冲突培养了学生良好的科学素养，使学生在矛盾冲突中学会反思。所以教师在平时教学中应有意去收集一些易错题，一些能引起学生矛盾冲突的题目去吸引学生的注意力，引发学生在解题中产生分歧，从而激发学生积极探索的能力。这样的教学方式对于启发学生在探索方面的求知是很有好处的。
二、在探索发现中学会思考问题
有位专家曾说：“我们缺的不是题目，缺的是思维；缺的不是有潜力的学生，缺的是能让学生的潜能得到充分发展的老师。”在解题中积极探索，积极发现，在我们平时的教学中对学生的数学思维影响很大。尤其是学会自主探究对学生的成长和思维的培养至关重要。下面笔者就在教学中如何培养学生的自主探索意识，如何优化解题方案进行尝试。
例：设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足-2≤m≤2的m值都成立，求x的取值范围。
解：原不等式可化为（x2-1）m-（2x-1）<0。
令f（m）=（x2-1）m-2x+1，则f（m）的图象是一条直线。
因为当m∈[-2，2]时，f（m）<0
f（-2）<0
f（-2）<0
2（x2-1）-2x+1<0
-2（x2-1）-2x+1<0
解得— 这是一道很普通的变量转换问题，把m看成自变量，利用一次函数去解，问题迎刃而解。当初笔者也是这样兴冲冲地教给学生的。此解法思路巧妙，过程简洁。但后来笔者发现，在以后的测试中能顺利求解这一类似问题的学生很少。这不能不说是我们教学的一个失败，这么好的方法，这么好的策略，为什么就没有被学生接纳吸收呢？反思我们的教学，平常我们都是将看似很好的方法直接灌输给学生，这样的教学有效性是很低的，学生对解题方法的认知仅停留在赏析的层面上，没能在大脑中留下太深刻的印象。能否有办法改变这一现象，让学生深刻体会这一好的解题策略呢？那么我们就要弄清楚一点，这道题的本质是什么？是“变换主元”吗？变换主元，意在“变换”，是将非主元的变量通过转化的手段视作“主元”，也即通常所说的将“参数”作为主元。那么本题中，主元是谁？是变量x吗？为什么变量x是主元，而变量m不是主元？你能说“不等式x+y>1”的主元是x，而y是参数吗？因此，我觉得问题的本质应该是学生的变量意识问题，在长期的数学学习过程中，我们习惯于用x，y来表示变量，用a，b，m等表示参数，受定式思维的影响，致使遇“x”必主元，见“m”必参数，这不正是我们教学中的失误吗？不正是我们在培养学生解题中应该全力纠正的吗？实际上本题中的“x”与“m”是平等的，没有主次之分，因此我后来在讲解这道题之前，我先设计了这样一道题：设不等式xm2-2m-x+1<0对于满足-2≤x≤2的x值都成立，求m的取值范围。然后再给出上面那道题目，让学生自主比较两个题目的本质相同之处，让学生在比较中形成视觉上的冲突，从而在本质上纠正变量之困，后来证实，这一方式果然在后面的测试中错误率大大降低。
三、在分类讨论中学会反思
分类讨论是高中数学的一种重要思想，可是在学生实际学习中掌握得并不好，一遇到分类讨论问题，学生往往感觉无从下手，或者分得乱七八糟，没有一个统一的标准，而分类讨论对于培养学生的严谨逻辑和反思习惯很有好处。所谓的分类讨论，其实就是在研究和解决数学问题时，如果对问题所给对象不能统一进行研究，就需要根据对象的本质属性，将对象分为不同种类，逐类研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决。其本质是“化整为零，各个击破”。下面笔者就具体例子来探讨如何用分类讨论思想培养学生的反思习惯。
例：（2011四川理22节选）已知函数，f（x）=—x+— ，h（x）=√x
（Ⅱ）设a∈R ，解关于x的方程log4[—f（x-1）-—]=log2h（a-x）-log2
h（4-x）。
本题看似复杂，又是最后一道解答题，很多学生看到之后稍微想想就放弃了，其实这是一道考查学生分类讨论思想的题目。一般来说大多数学生会用方法一来解决此题。
解：方法一，原方程可化为log4[—
f（x-1）-—]=log2h（a-x）-log2h（4-x），
即为log4（x-1）=log2√a-x-log2√4-x=
x 1 ①当 1 则x-1=—，即x2-6x+a+4=0，△= 36-4（a+4）=20-4a>0 ，此时x= — = 3 ±√5-a，因为1 此时方程仅有一解x=3-√5-a。 ②当a>4时，1 若4 若a=5时，则△=0，方程有一解 x=3； 若a≤1 或a>5，原方程无解。 此种方法解决起来很复杂，很多学生根本想不到，但是我们如果在平时的教学中多对学生进行分类讨论的训练，培养他们在解题中的反思习惯，这类题目完全可以想到用下面的方法进行解答，从而大大减少了思维量和运算量。 方法二，原方程可化为log4（x-1）+ log2h（4-x）=log2h（a-x），即—log2（x-1）+ log2√4-x=log2√a-x x-1>0 4-x>0 a-x>0 （x-1）（4-x）=a-x 1 x a=-（x-3）2+5 ①当1 ②当4 ③当a=5时，原方程有一解x=3； ④当a≤1或a>5时，原方程无解。 四、在归纳总结中学会反思 对于解题，经常有学生会这样问我：“老师，你为什么这样想？为什么我总想不到呢？”我认为，老师在做题和讲解的时候积累了很多经验和方法，一看到题目就能根据经验找到正确的解题思路，也正是老师不断积累才会解决学生的绝大多数问题，笔者觉得在平常的教学中也应该刻意去培养学生不断总结归纳的习惯，从而提高学生的解题能力。下面笔者从一次我校高三月考中绝大多数的学生出现错误的一道填空题来说明如何培养学生在归纳总结中学会反思的能力。 例：若平面上的动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离多1，求点P的轨迹方程。 错解：根据题意，P到F（1，0）的距离比到y轴的距离多1，则点P到F（1，0）的距离等于点P到直线x=-1的距离，所以P轨迹是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线。所以所求的轨迹方程式 是y2=4x。 正解：设P（x，y），则√（x-1）2+y2- |x|=1，当x≥0时，y2=4x；当x<0时，y2=0，即y=0。 仔细研究下好像是无懈可击，但确实答案是错的，错误问题到底出在何处呢？我和同事们讨论了很久也没有什么好的方法让学生避免这一错误，总不能让学生都放着抛物线的定义不用，而用正解中的列方程去做题目吧。后来我经过仔细研究教材上的定义才发现，原来问题出现在我们教材上的定义有“问题”。 在我们旧课本的定义中，抛物线是这样定义的，“动点到定点的距离等于动点到定直线的距离，则动点的轨迹是抛物线”；事实上，定义中的定点是不能在这条定直线上的。当定点在定直线上时，满足“动点到定点的距离等于动点到定直线的距离”的动点轨迹是过该点且垂直于定直线的一条直线。可能是由于我们教师在教学中没有强调而引起的“失误”。我很快意识到，应该抓住这个契机，让学生在这个问题上彻底搞清楚，于是我改编了两个题目，引导学生自己归纳发现这个问题，在总结中提高自己。 在教学过程中，学生出现错误在所难免，应该得到教师的允许和理解，而不是排斥和打击，学生的创造性思维应该得到尊重和保护，而不是忽略和抹杀，教师应不吝时间让学生发现问题、提出问题，对于有价值的问题包括学生易错的问题，应该放手让学生去探究、去实践、去交流、去争辩、去反思，从而激发学生的兴趣，整合新旧知识的联系，加深对数学基础知识、基本技能、基本方法的理解，提高学生的能力。 参考文献： [1]黄贤锋.一道课本例题的再思考 [J].数学通讯，2011（09）. [2]徐德清.解题中应注意分类讨论[J].高中数学，2011（17）. [3]曹 军.培养解题监控能力，教会学生解题学习[J].中学数学杂志，2011（04）. [4]林吉广.课后反思，与精彩对话[J].中学数学教学参考，2011（08）. [5]刘 炜.合力类比，激发猜想[J].中学数学研究（江西师大）， 2011（09）. （作者单位：浙江省严州中学梅城校区）